高中数学平面向量知识点总结概括

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　《高中数学》是由人民教育出版社出版的图书，该书由人民教育出版社、课程教材研究所、数学课程教材研究开发中心共同编制，内容包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等部分。下面是我精心收集的高中数学有关平面向量知识点总结概括，希望能对你有所帮助。

　一、定比分点

　定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2）

　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

　若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有

　OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）

　x=（x1+λx2）/（1+λ），

　y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分点坐标公式）

　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。

　二、三点共线定理

　若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

　三、三角形重心判断式

　在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。

　四、向量共线的重要条件

　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　a//b的重要条件是xy—xy=0。

　零向量0平行于任何向量。

　五、向量垂直的充要条件

　a⊥b的充要条件是ab=0。

　a⊥b的充要条件是xx+yy=0。

　零向量0垂直于任何向量。

　设a=（x，y），b=（x，y）。

　六、向量的运算

　1、向量的加法

　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　AB+BC=AC。

　a+b=（x+x，y+y）。

　a+0=0+a=a。

　向量加法的运算律：

　交换律：a+b=b+a；

　结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

　2、向量的减法

　如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量为0

　AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减”

　a=（x，y） b=（x，y） 则a—b=（x—x，y—y）。

　4、数乘向量

　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

　当λ＞0时，λa与a同方向；

　当λ＜0时，λa与a反方向；

　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　当∣λ∣＜1时，表示向量a的'有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

　5、数与向量的乘法满足下面的运算律

　结合律：（λa）b=λ（ab）=（aλb）。

　向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。

　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。

　数乘向量的消去律：

　①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

　②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　6、向量的的数量积

　定义：已知两个非零向量a，b。作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π

　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+—∣a∣∣b∣。

　向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。

　7、向量的数量积的运算律

　ab=ba（交换律）；

　（λa）b=λ（ab）（关于数乘法的结合律）；

　（a+b）c=ac+bc（分配律）；

　向量的数量积的性质

　aa=|a|的平方。

　a⊥b〈=〉ab=0。

　|ab|≤|a||b|。

　8、向量的数量积与实数运算的主要不同点

　8.1向量的数量积不满足结合律，即：（ab）c≠a（bc）；例如：（ab）^2≠a^2b^2。

　8.2向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac（a≠0），推不出b=c。

　8.3|ab|≠|a||b|

　8.4由a|=|b|，推不出a=b或a=—b。

　七、向量的向量积

　1、定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　2、向量的向量积性质：

　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　a×a=0。

　a‖b〈=〉a×b=0。

　3、向量的向量积运算律

　a×b=—b×a；

　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　（a+b）×c=a×c+b×c。

　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

　4、向量的三角形不等式

　1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

　①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

　②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

　2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。

　①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

　②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

知识点如图：

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

向量发展历程：

向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。

物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。

现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

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