什么是数学的本质？

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数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”

自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系（恩格斯）”的认识（恩格斯），又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的劳动创造。

从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。

对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。

事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”

另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，数学就起着用科学的作用，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”

从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。

基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。

对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。

人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。

科学证伪最典型的例子

本质基本释义为本身的形体，本来的形体；指事物本身所固有的根本的属性。

本质论：政治术语，黑格尔逻辑学中的第二部分，是纯粹概念运动发展的第二个阶段。

黑格尔认为，在第一阶段中，即在“存在论”中所谈的范畴都是直接的，而“本质论”中的范畴是间接的。因为本质是在现象背后的东西，黑格尔称其为“过去了的存在”。由于本质是深入到了直接的东西内部的间接的东西，因此，“本质论”中的范畴都是“双层的”，是彼此对立而又相互依存的：甲范畴的本质要在和它对立的乙范畴中才能反映出来，反之亦然。黑格尔称范畴间的这种关系为“反思”，把两个相互对立又相互依存、相互映现的概念或规定性叫作“反思的概念”或“反思的规定”。

生物本质论：论述生物本质？

本质主义：相信任何事物都存在着一个深藏着的唯—的本质，相信本质和现象的区分提供了人类观察万事万物的基本概念图式； 把人类认识特别是现代以来所谓科学认识的任务规定为透过现象揭示事物的唯一本质； 把揭示事物的唯—本质作为—切知识分子职业身份的内在规定和学术使命。

极端本质：意思类似于本质主义。

科学和科学理论之间的区别

证伪主义应采用试错法。这是指人们应该大胆地提出假说和猜测，然后去寻找和这一假说不符合的事例。根据事例对假说进行修正，不断重复这一过程，乃至将最初的假说全盘否定。试错法对理论的修改和完善是没有止境的，试错法的结果只能是一个较好的假说，但不是最好的假说。最好的假说是终极真理的代名词，和科学精神相悖。

波普尔同样想整合唯理论和经验论的冲突，但他同时批判唯理论和经验论。唯理论和经验论都承认，知识起源于一个不变的基础。唯理论认为这个基础是普遍必然的原则，而经验论认为它是人的经验感觉。波普尔的科学哲学核心在于，一切理论和原则都可以被证伪，而经验虽然不是知识的来源和基础，却是检验知识的标准。他将这种观点称作理性批判主义。

一个观点最终成为一个近乎信念的存在，是需要持续不断输入的。我能记起来的，最早接触到“可证伪”这个概念，是香港经济学家张五常老师写的《经济解释》，在这本经济学著作里，张五常老师用了整整一大章去论述科学方法；随后我是在“罗辑思维”的一期节目上再次接触了这个观点，那一期节目可能是“罗辑思维”有史以来最有争议的一期，第118期“你怎么还信中医”，在那一期我听到了科学实验的方法是“大样本随机双盲对照实验”，还有“中医不是科学，因为中医没有办法证伪”。

“科学的本质是其可证伪性”，对我来说是一个近乎真理般的存在，但是对其他人并不是这样，我在我自己的读书会上就体会到了这一点。

在去年八月份第29期读书会上，我分享了一本非常好的书，《对伪心理学说不》。心理学和我刚刚提到过的心理学一样，很多时候并不被大众认为是科学。我们提到科学，似乎专指自然科学，比如物理、化学、生物、地理等等。我现在还记得那一期读书会的开场，我问大家“心理学是否是一门科学”，现场大部分朋友都“say no”。

其实心理学和经济学都属于社会科学，为什么心理学没有被当成一门科学，因为人们的观念受到了伪心理学的影响。伪心理学有两类，一类就是我们在书店经常看到各类所谓心理学专家写的不靠谱的鸡汤作品；而另一类则是以弗洛伊德为首的精神分析。后者之所以被作者认为是伪科学，也同时也被提出“可证伪”这个概念的卡尔·波普尔排除在科学之外的原因，就是因为精神分析“没有办法被证伪”。

可证伪，顾名思义，就是可以被证明是错的。举个例子，只要下雨，天上就会有云彩。这件事情是否可证伪？当然可以，只要我们能够观察到下雨的时候，天上没有云彩，这个理论就被推翻了。

那什么不可以被证伪呢。逻辑学上有一个概念，叫“套套逻辑”。套套逻辑专门指一些言论，无论在什么样的情况下，都不会错。比如，四足动物有四只脚。这句话永远不可能被证伪，这句话永远正确，当然这句话什么也都没说。

我们刚刚提到的弗洛伊德的精神分析，也是不能被证伪的。此处给大家列举卡尔·波普尔的例子，这是两个截然相反的人类行为，第一种情况中一个人把小孩推入水中试图淹死他；第二种情况中一个人跳入水中试图救小孩。然而这两种截然相反的情况都能被弗洛伊德理论所解释。按照弗洛伊德的理论，第一个人在忍受着部分俄狄浦斯情结的“压抑”，第二个人则是摆脱了压抑，实现了性欲望的“升华”。所以两种情况都证实了精神分析理论。但恰恰这一点说明了精神分析的缺陷，即它总是能自圆其说，而无法被证伪。

而真正的科学是能够被证伪的。比如爱因斯坦的理论。基于相对论，爱因斯坦预测从远处恒星发出的光在靠近太阳时会被弯曲。这一预测是科学的，因为如果观察到光线没有弯曲，那么爱因斯坦的理论就被证伪了。

通过这些例子，我相信大家能够看到“可证伪”是一个区分科学和非科学非常重要的标准。但是伴随着这个标准，我们还能延伸出科学的其他特点。

可以被证伪，意味着可以被观察、被实验、被验证，这说明科学有“实证”这个特性；当然科学还有一个特性悄悄躲了起来，就是“确定性”，科学的理论本身不能是模棱两可的。

还需要补充的一个小点是，所有客观的认同都是需要主观判断。比如刚刚举的例子，如果下雨，天上就会有云彩。天上有云，是一个客观的事实，但是它需要主观的判断。如果我说天上有云，你说天上没有云，我们也就没有必要继续这个讨论了。

以上便是“可证伪”。

科学和科学理论之间的区别：

1、科学是指发现、积累并公认的普遍真理或普遍定理的运用，已系统化和公式化了的知识。科学包含自然、社会、思维等领域，如物理学、生物学和社会学。1888年，达尔文曾给科学下过一个定义：“科学就是整理事实，从中发现规律，做出结论”。达尔文的定义指出了科学的内涵，即事实与规律。科学要发现人所未知的事实，并以此为依据，实事求是，而不是脱离现实的纯思维的空想。科学是建立在实践基础上，经过实践检验和严密逻辑论证的，关于客观世界各种事物的本质及运动规律的知识体系。

2、科学理论是对某种经验现象或事实的科学解说和系统解释。它是由一系列特定的概念、原理(命题)以及对这些概念、原理(命题)的严密论证组成的知识体系。

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